Поэтому для представления этой структуры нам необходимо иметь всего лишь два языковых средства: специальный символ, обозначающий пустой список, и функтор для соединения головы с хвостом. Мы могли бы, например, выбрать

        ничего_не_делать

в качестве символа, обозначающего пустой список, и атом

        затем

в качестве инфиксного оператора для построения списка по заданным голове и хвосту. Этот оператор мы можем объявить в программе, например, так:

        :- ор( 500, xfy, затем).

Список

        [ войти, сесть, поужинать]

можно было бы тогда записать как

        войти затем сесть затем поужинать
        затем ничего_не_делать

Важно заметить, что на соответствующем уровне абстракции специальная прологовская нотация и всевозможные альтернативные способы обозначения списков сводятся, фактически, к одному и тому же представлению. В связи с этим типовые операции над списками, такие как

        принадлежит ( X, L)
        конк( L1, L2, L3)
        удалить( X, L1, L2)

запрограммированные нами в специальной прологовской нотации, легко поддаются перепрограммированию в различные системы обозначений, выбранные пользователем. Например, отношение конк транслируется на язык "затем - ничего_не_делать" следующим образом. Определение, которое мы использовали до сих пор, имеет вид

        конк( [ ], L, L).

        конк( [X | L1], L2, [X | L3] ) :-
                конк( L1, L2, L3).

В новой системе обозначений оно превращается в

        конк( ничего_не_делать, L, L).

        конк( Х затем L1, L2, Х затем L3) :-
                конк(L1, L2, L3).

Этот пример показывает, как легко наши определения отношений над списками обобщаются на весь класс структур этого типа. Решение о том, какой именно способ записи списков будет использоваться в той или иной программе, следует принимать в соответствии с тем смыслом, который мы придаем списку в каждом конкретном случае. Если, например, список - это просто множество элементов, то наиболее удобна обычная прологовская нотация, поскольку в ней непосредственно выражается то, что программист имел в виду. С другой стороны, некоторые типы выражений также можно трактовать как своего рода списки. Например, для конъюнктов в исчислении высказываний подошло бы следующее спископодобное представление:

• истина соответствует пустому списку,
• & - оператор для соединения головы с хвостом, определяемый, например, как
             
              :- ор( 300, xfy, &)

Конъюнкция членов а, b, и с выглядела бы тогда как

            а & b & с & истина

Все приведенные примеры базируются, по существу, на одной и той же структуре, представляющей список. Однако в гл. 8 мы рассмотрели существенно другой способ, влияющий на эффективность вычислений. Уловка состояла в том, что список представлялся в виде пары списков, являясь их "разностью". Было показано, что такое представление приводит к очень эффективной реализации отношения конкатенации.

Материал настоящего раздела проливает свет и на то различие, которое существует между применением операторов в математике и применением их в Прологе. В математике с каждым оператором всегда связано некоторое действие, в то время как в Прологе операторы используются просто для представления структур.

Упражнения

9. 1.    Определите отношение

        список( Объект)

для распознавания случаев, когда Объект является стандартным прологовским списком.

        пузырек( Спис, УпорСпис) :-
                перест( Спис, Спис1),  !,                  % Полезная перестановка ?
                пузырек( Спис1, УпорСпис).

        пузырек( УпорСпис, УпорСпис).
                                        % Если нет, то список уже упорядочен

        перест( [Х, Y | Остаток], [Y, Х ) Остаток] ):-
                                    % Перестановка первых двух элементов
                больше( X, Y).

Еще один простой алгоритм сортировки называется сортировкой со вставками. Он основан на следующей идее:

Для того, чтобы упорядочить непустой список  L = [X | Хв],  необходимо:

(1)        Упорядочить хвост  Хв   списка  L.

(2)        Вставить голову  Х  списка  L  в упорядоченный хвост, поместив ее в такое место, чтобы получившийся список остался упорядоченным. Список отсортирован.

Этот алгоритм транслируется в следующую процедуру вставсорт на Прологе:

        вставсорт([ ], [ ]).

        вставсорт( [X | Хв], УпорСпис) :-
                вставсорт( Хв, УпорХв),                     % Сортировка хвоста
                встав( X, УпорХв, УпорСпис).
                                                        % Вставить Х на нужное место

Рис. 9. 1.  Сортировка списка процедурой быстрсорт.

        встав( X, [Y | УпорСпис], [Y | УпорСпис1]):-
                больше( X, Y),  !,
                встав( X, УпорСпис, УпорСпис1).

        встав( X, УпорСпис, [X | УпорСпис] ).

Для того, чтобы упорядочить непустой список  L,   необходимо:

(1)        Удалить из списка  L  какой-нибудь элемент  Х  и разбить оставшуюся часть на два списка, называемые Меньш и Больш, следующим образом: все элементы большие, чем  X,   принадлежат списку Больш, остальные - списку Меньш.

(2)        Отсортировать список Меньш, результат - список УпорМеньш.

(3)        Отсортировать список Больш, результат - список УпорБольш.

(4)        Получить результирующий упорядоченный список как конкатенацию списков УпорМеньш и [ Х | УпорБольш].

Заметим, что если исходный список пуст, то результатом сортировки также будет пустой список. Реализация быстрой сортировки на Прологе показана на рис. 9.2. Здесь в качестве элемента   X,  удаляемого из списка, всегда выбирается просто голова этого списка. Разбиение на два списка запрограммировано как отношение с четырьмя аргументами:

        разбиение( X, L, Больш, Меньш).

Временная сложность нашего алгоритма зависит от того, насколько нам повезет при разбиении сортируемого списка. Если списки всегда разбиваются на два списка примерно равной длины, то процедура сортировки имеет временную сложность порядка nlogn, где  n  - длина исходного списка. Если же, наоборот, разбиение всегда приводит к тому, что один из списков оказывается значительно больше другого, то сложность будет порядка  n².   Анализ показывает, что, к счастью, средняя производительность быстрой сортировки ближе к лучшему случаю, чем к худшему.

Программу, показанную на рис. 9.2, можно усовершенствовать, если реализовать операцию конкатенации более эффективно. Напомним, что конкатенация

        быстрсорт( [ ], [ ] ).

        быстрсорт( [X | Хвост], УпорСпис) :-
                разбиение( X, Хвост, Меньш, Больш),
                быстрсорт( Меньш, УпорМеньш),
                быстрсорт( Больш, УпорБольш),
                конк( УпорМеньш, [X | УпорБольш], УпорСпис).

        разбиение( X, [ ], [ ], [ ] ).

        разбиение( X, [Y | Хвост], [Y | Меньш], Больш ) :-
                больше( X, Y),  !,
                разбиение( X, Хвост, Меньш, Больш).

        разбиение( X, [Y | Хвост], Меньш, [Y | Больш] ) :-
                разбиение( X, Хвост, Меньш, Больш).

        конк( [ ], L, L).

        конк( [X | L1], L2, [X | L3] ) :-
                конк( L1, L2, L3 ).

Рис. 9. 2.  Быстрая сортировка.

становится тривиальной операцией после применения разностного представления списков, введенного в гл. 8. Для того, чтобы использовать эту идею в нашей процедуре сортировки, нужно представить встречающиеся в ней списки в форме пар вида A-Z следующим образом:

        УпорМеньш имеет вид A1-Z1
        УпорБольш имеет вид A2-Z2

Тогда конкатенации списков

        УпорМеньш и [ Х | УпорБольш]

будет соответствовать конкатенация пар

        A1-Z1    и     [ Х | A2]-Z2

В результате мы получим

        А1-Z2,     причем    Z1 = [ Х | А2]

Пустой список представляется парой Z-Z. Систематически вводя изменения в программу рис. 9.2, мы получим более эффективный способ реализации процедуры быстрсорт, показанный на рис. 9.3 под именем

        быстрсорт( Спис, УпорСпис) :-
                быстрсорт2( Спис, УпорСпис-[ ] ).

        быстрсорт2( [ ], Z-Z).

        быстрсорт2( [X | Хвост], A1-Z2) :-
                разбиение( X, Хвост, Меньш, Больш),
                быстрсорт2( Меньш, А1-[Х | A2] ),
                быстрсорт2( Больш, A2-Z2).

Рис. 9. 3.  Более эффективная реализация процедуры быстрсорт
с использованием разностного представления списков. Отношение
разбиение( Х, Спис, Меньш, Больш) определено, как на рис. 9.2.

быстрсорт2. Здесь, как и раньше, процедура быстрсорт использует обычное представление списков, но в действительности сортировку выполняет более эффективная процедура быстрсорт2, использующая разностное представление. Эти две процедуры связаны между собой, соотношением

        быстрсорт( L, S) :-
                быстрсорт2( L, S-[ ] ).

Упражнения

9. 5.    Напишите процедуру слияния двух упорядоченных списков в один третий список. Например:

        ?-  слить( [2, 5, 6, 6, 8], [1, 3, 5, 9], L).
        L = [1, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 8, 9]

9. 6.    Программы сортировки, показанные на рис. 9.2 и 9.3, отличаются друг от друга способом представления списков. Первая из них использует обычное представление, в то время как вторая - разностное представление. Преобразование из одного представления в другое очевидно и может быть автоматизировано. Введите в программу рис. 9.2 необходимые изменения, чтобы преобразовать ее в программу рис. 9.3.

9. 7.    Наша программа быстрсорт в случае, когда исходный список уже упорядочен или почти упорядочен, работает очень неэффективно. Проанализируйте причины этого явления.

9. 8.    Существует еще одна хорошая идея относительно механизма сортировки списков, позволяющая избавиться от недостатков программы быстрсорт, а именно: разбить список на два меньших списка, отсортировать их, а затем слить вместе. Итак, для того, чтобы отсортировать список L, необходимо

• разбить L на два списка L1 и L2 примерно одинаковой длины;
• произвести сортировку списков L1 и L2,получив списки S1 и S2;
• слить списки S1 и S2, завершив на этом сортировку списка L.

Реализуйте этот принцип сортировки и сравните его эффективность с эффективностью программы быстрсорт.